【三垂线定理】怎样运用三垂线定理

【三垂线定理】怎样运用三垂线定理

【答案】 三垂线定理（一）
　　数学组：周海军
　　一、教学目标说明
　　（1） 三垂线定理及其逆定理都是研究直线和直线的垂直关系的.它们在空间图形的计算问题和证明问题中有着广泛的应用,所以这部分内容中的知识必须达到理解、应用的水平.
　　（2）利用计算机模拟运动,增强直观性,激励学生的学习动机,培养学生的空间想象能力和转化的数学思想方法；同时培养学生观察、猜想和论证能力.
　　二、教学重点和难点
　　重点：三垂线定理及逆定理的教学,两个定理的应用
　　难点：三垂线定理及逆定理的应用
　　三、教学方法
　　讲练结合,运用计算机辅助教学
　　四、教学过程及说明
　　1、复习旧知,揭示课题
　　在立体图形的性质讨论或计算中,常常要遇到判定两条直线垂直的问题或求点到直线距离的问题.这些问题可通过线面垂直的讨论或用平移转化为平面内问题的方法来解决,但这样做比较烦琐,时否能找出直接判定空间两直线垂直的方法呢?
　　例、在立方体ABCD-A1B1C1D1中,
　　（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；
　　（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何?
　　（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度?
　　连结BD交AC于点O,过O作BD1的平行线交DD1于点M,连结MA、MC
　　则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA=MC,而O为AC的中点,因此MO⊥AC,即∠MOA=90°,
　　∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.
　　通过回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系,揭示这节课所要学的内容与原来所学的知识之间的内在联系,也就是提醒学生这节课的目的是利用所学过的数学知识去总结结论,发现定理,从而为定理的证明打下了基础.
　　2、分析定理,得出逆定理
　　① 分析定理中的关键字词,计算机闪烁相应字词及相应的图形,其目的是帮助学生更好地理解定理,加深印象.
　　② 在定理证明完毕,提问：若将已知条件“a⊥AO”与“a⊥PO”互换,结论成立吗?电脑动态显示“a⊥AO ” 与 “a⊥PO ” 语句的移动,激发学生的学习兴趣,增强探索问题的能力.
　　③定理与逆定理的一致性,分析定理中的元素与用途.通过电脑动态显示,进一步加深学生对两个定理的理解.
　　三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这也和这条斜线垂直.
　　已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线,AO是PO在平面α上的射影,直线a在平面α内,a⊥AO
　　求证：a⊥PO.
　　证明：
　　AO⊥a
　　a⊥PO
　　三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么也和这条斜线的射影垂直.
　　小结1：定理中涉及到的几何元素是：
　　（1）一个平面；
　　（2）四条直线：①平面的垂线；②平面的斜线；③斜线在这个平面内的射影；④平面内的一条直线.
　　（3）三个垂直：①垂线与平面垂直；②平面内的直线和斜线在这个平面内的射影垂直；③平面内的直线和斜线垂直.
　　3、应用定理
　　例1、在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AH⊥平面BCD,求证：BH⊥CD
　　证明：∵AH⊥平面BCD
　　∴AB在平面BCD内的射影为BH
　　又∵AB⊥CD,且CD在平面BCD内
　　由三垂线定理的逆定理知,BH⊥CD.
　　例1的目的在于要求学生掌握定理的用法,并小结利用定理证明线线垂直的一般步骤：一定二找三证.
　　例2、已知：在直角三角形ABC中,角A为直角,PA⊥平面ABC,BD⊥PC,垂足为D；
　　求证：AD⊥PC
　　证明：∵PA ⊥平面ABC
　　∴PA⊥BA
　　又∵BA⊥AC
　　∴BA⊥平面PAC
　　∴AD是BD在平面PAC内的射影
　　又∵BD⊥PC
　　∴AD⊥PC.
　　（三垂线定理的逆定理）
　　例3、在立方体ABCD-A1B1C1D1内
　　（1）立方体的各个面上的对角线与立方体的对角线A1C互相垂直 的共有几条?
　　说明：可以得到线面垂直；
　　（2）设O是BD的中点,E、F分别是A1B1和的B1C1中点,求证：D1O⊥EF；
　　法1：可以证明D1O在平面A1C1上的射影是B1D1
　　而B1D1⊥直线EF,由三垂线定理知EF⊥D1O
　　法2：可以证明EF⊥平面B1BDD1.
　　（3）若P点为BD上的任一点,则A1C和D1P不垂直.
　　说明：通过典型的练习,使学生从不同的图形、不同的角度去考察三垂线定理,突出对象的本质要素——平面的垂线,从而正确理解三垂线定理,熟练掌握三垂线定理的各种变式及应用的关键,这对强化迁移,进一步培养学行的空间想象能力及逻辑思维能力是十分有利的.
　　4、练习:判断正误,并说明理由：
　　（1）如果一条直线和斜线在平面上的射影垂直,那么这条直线和斜线垂直；
　　（2）如果平面内的一条直线和斜线在此平面上的射影不垂

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