若abc为实数且a+b+c等于根3a^2+b^2+c^2=1求证a=b=c
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解决时间 2021-03-24 11:05
- 提问者网友：温旧梦泪无声
- 2021-03-23 18:31
若abc为实数且a+b+c等于根3a^2+b^2+c^2=1求证a=b=c
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒安江南
- 2021-03-23 19:20
证：
(a+b+c)²=(√3)²
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3
a²+b²+c²=1代入，得1+2ab+2bc+2ca=3
ab+bc+ca=1，又a²+b²+c²=1，因此
a²+b²+c²=ab+bc+ca
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方项恒非负，三个非负项之和等于0，三个非负项分别等于0
a-b=0，b-c=0，c-a=0
解得a=b，b=c，c=a
a=b=c
(a+b+c)²=(√3)²
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3
a²+b²+c²=1代入，得1+2ab+2bc+2ca=3
ab+bc+ca=1，又a²+b²+c²=1，因此
a²+b²+c²=ab+bc+ca
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方项恒非负，三个非负项之和等于0，三个非负项分别等于0
a-b=0，b-c=0，c-a=0
解得a=b，b=c，c=a
a=b=c
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