求证1/2+1/3+...+1/n < lnn
求证1/2+1/3+...+1/n<lnn<n+1/2+1/3+...+1/(n-1)
答案:2 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-04-07 10:08
- 提问者网友：流星是天使的眼泪
- 2021-04-06 17:17
已知f(x)=-1+1/x +lnx>0
求证1/2+1/3+...+1/n < lnn最好不要涉及级数，就用高中数学知识求解。急求
求证1/2+1/3+...+1/n < lnn
最佳答案
- 五星知识达人网友：未来江山和你
- 2021-04-06 18:00
-1≤x≤1,2≤n
0≤1-x≤2
(1-x)^(n-1)≤2^(n-1)
(1-x)^n≤(1-x)*2^(n-1)
同样
(1+x)^n≤(1+x)*2^(n-1)
所以
(1-x)^n+(1+x)^n≤(1-x)*2^(n-1)+(1+x)*2^(n-1)=2^n
0≤1-x≤2
(1-x)^(n-1)≤2^(n-1)
(1-x)^n≤(1-x)*2^(n-1)
同样
(1+x)^n≤(1+x)*2^(n-1)
所以
(1-x)^n+(1+x)^n≤(1-x)*2^(n-1)+(1+x)*2^(n-1)=2^n
全部回答
- 1楼网友：罪歌
- 2021-04-06 19:16
解，设g(x)=1/x g(x)=1/2 +1/3 + 1/4 +...+1/x 可知g(x）是 g(x)=1/x 的积分，故其导数就是 g(x)=1/x x>1
f（x）=lnx 其导数是f（x）=1/x
综上所述 g（x）=f（x）=1/x >0 故g(x)和f(x)都是递增率相同的递增函数
当x=2时 g(x)=1/2 1时 有g(x) 所以有1/2 +1/3 + 1/4 +...+1/n这是一类题目，导数在不等式和函数之间的应用，掌握这类题，主要是会设函数
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