尺规作图正七边形怎么证明无法做

尺规作图正七边形怎么证明无法做

用反证法：
假设能在一个圆内尺规作出正七边形，如下图：

为了作出图中的正七边形，就必须作出 [正七边形的边长]
由图可知：[正七边形的边长] = 2×[外接圆的半径]×sin(π/7)
其中，[外界圆的半径] 是由我们自己规定的，为已知量
所以，为了作出 [正七边形的边长]，就必须作出 sin(π/7)
为此，我们可以先作出 cos(2π/7)，然后用三角函数转换公式得出 sin(π/7)


设方程 f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1 
其中，cos(2π/7) 是 f(x)=0 的一个解，所以 cos(2π/7) 是 [三次方根] 的形式；


但是，尺规作图只能作五种运算：加、减、乘、除、开平方；
通过以上五种运算，无论如何都得不出 [三次方根] 的形式；
也就是说，尺规作图无法作出 [三次方根] 的量；
所以，cos(2π/7) 无法被作出；
因此，sin(π/7) 也就无法被作出；
进而，[正七边形的边长] 也因此无法作出；
最终，正七边形无法作出；


这就是证明的大体思路
（如果要详细严谨过程的话，要写 3 页多纸，但那有点不必要，毕竟理解了思路就好）

呵呵，已有人答了