已知圆C:x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q.以PQ为直径的圆过原点,求圆C的圆心和半径

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设P(x1,y1) Q(x2,y2)
因为以PQ为直径的圆过原点，所以x1*x2+y1*y2=0(这个懂吧,PO垂直QO,向量乘积为0）
将x+2y-3=0代入x^2+y^2+x-6y+m=0中，分别消掉x,y,得到关于x或y的一元二次方程，用韦达定理求得x1*x2与y1*y2(用m表示），得到关于m的方程，可解得m，答案略。

圆c:x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于p.q两点，

所以可设以pq为直径的圆的方程为x^2+y^2+x-6y+m+n(x+2y-3)=0

因为经过原点,所以m -3n=0,所以m=3n

因为圆心在直线pq上,所以-(1+n)/2+2[-(2n-6)/2]-3=0,可得n=1

所以圆c的方程为圆c:x^2+y^2+x-6y+3=0

所以圆c的圆心为(-1/2,3),半径为5/2