（2003?天津）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC

（2003?天津）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．

（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连接EF、FC，
∵D，E分别是CC1，A1B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，
EF2=FG?FD=
1
3 FD2，
∵EF=1，∴FD=



3 ．
于是ED=



2 ，EG=
1× 



2




3 ＝ 




6
3
∵FC=



2 ，CD=1
∴AB=2



2 ，A1B=2



3 ，EB=



3 ，
∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin




2
3 ；

（Ⅱ）连接A1D，有VA1?AED＝VD?AA1E
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，
则S△AED?h＝S△A1AB?ED，
S△A1  AE  ＝
1
2 S△A1  AB  ＝
1
4 A1  A?AB＝



2 ，
S△AED ＝
1
2 AE?ED＝




6
2 ．
∴h＝




2 ×



2





6
2 ＝
2



6
3 ，
即A1到平面AED的距离为
2



6
3 ．

以c为原点，ca、cb、cc1所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，使a、b、c1落在坐标轴的正半轴上。令ad的中点为f，ac＝a。则： a（a，0，0）、b（0，a，0）、c（0，0，0）、c1（0，0，2）、a1（a，0，2）。 由中点坐标公式，容易得出：d（0，0，1）、e（a/2，a/2，1）、f（a/2，0，1/2）。 ∵g是△abd的重心，∴bg/fg＝2，由定比分点坐标公式，得：g的坐标是（a/3，a/3，2/3）。 向量bg＝（a/3，－2a/3，2/3）、向量eg＝（－a/6，－a/6，－1/3）。 ∵g是e在平面abd上的射影，∴eg⊥bg，∴向量eg·向量bg＝0， ∴－a^2/18＋2a^2/18－2/9＝0，∴a^2/18＝2/9，∴a＝2。 ∴b的坐标是（0，2，0）、e的坐标是（1，1，1）、g的坐标是（1/3，1/3，2/3）。 ∴｜eg｜＝√（4/9＋4/9＋1/9）＝1、｜be｜＝√（1＋1＋1）＝√3。 ∴sin∠ebg＝｜eg｜/｜be｜＝1/√3＝√3/3。 ∵g是e在平面abd上的射影，∴∠ebg就是a1b与平面abd所成的角。 ∴a1b与平面abd所成角的正弦值是√3/3。