求∫ x/(1+√x) dx 的积分。
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解决时间 2021-11-11 17:45
- 提问者网友：最爱你的唇
- 2021-11-11 11:48
求∫ x/(1+√x) dx 的积分。
最佳答案
- 五星知识达人网友：雪起风沙痕
- 2021-11-11 12:34
令u = √x，x = u²，dx = 2u du
∫ x/(1 + √x) dx
= ∫ u²/(1 + u) * (2u du)
= 2∫ u²[(1 + u) - 1]/(1 + u) du
= 2∫ u² du - 2∫ u²/(1 + u) du
= (2/3)u³ - 2∫ u[(u + 1) - 1]/(1 + u) du
= (2/3)u³ - 2∫ u du + 2∫ u/(1 + u) du
= (2/3)u³ - u² + 2∫ [(u + 1) - 1]/(1 + u) du
= (2/3)u³ - u² + 2∫ du - 2∫ du/(1 + u)
= (2/3)u³ - u² + 2u - 2ln(1 + u) + C
= (2/3)x^(3/2) - x + 2√x - 2ln(1 + √x) + C
∫ x/(1 + √x) dx
= ∫ u²/(1 + u) * (2u du)
= 2∫ u²[(1 + u) - 1]/(1 + u) du
= 2∫ u² du - 2∫ u²/(1 + u) du
= (2/3)u³ - 2∫ u[(u + 1) - 1]/(1 + u) du
= (2/3)u³ - 2∫ u du + 2∫ u/(1 + u) du
= (2/3)u³ - u² + 2∫ [(u + 1) - 1]/(1 + u) du
= (2/3)u³ - u² + 2∫ du - 2∫ du/(1 + u)
= (2/3)u³ - u² + 2u - 2ln(1 + u) + C
= (2/3)x^(3/2) - x + 2√x - 2ln(1 + √x) + C
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