对于数列{An},若a1=a+1/a（a>0且a不等于1）,a(n+1)=a1-1/an 求:a2,a3,a4,猜测an,并用数学归纳法证明

rt

a2=a1-1/a1=a+1/a-1/[a+1/a]=(a^4+a^2+1)/(a^2+1) *1/a=
a3=...=(a^6+a^4+a^2+1)/(a^4+a^2+1) *1/a
a4=...=(a^8+a^6+a^4+a^2+1)/(a^6+a^4+a^2+1) *1/a

设bn=a^2n+a^2(n-1)+...+a^2+1=1*[1-a^2(n+1)]/(1-a^2)
猜测an=bn/b(n-1) *1/a
n<=4时成立
设n=k时成立,ak=bk/b(k-1) *1/a

先算一个东西:b(k-1) *a^2=bk-1 这是显然成立的，可以用于下面的化简

n=k+1时
a(k+1)=a1-1/ak
=a1-a*b(k-1)/bk
=(a^2+1)/a-a*b(k-1)/bk
=[(a^2+1)bk-a^2*b(k-1)]/(a*bk)
=[b(k+1)-1+bk-(bk-1)]/(a*bk)
=b(k+1)/(a*bk)
说明n=k+1亦成立
由数归.......

(1)，a2=1/(2-a)，a3=(2-a)/(3-2a)，a4=(3-2a)/(4-3a)； (2)，猜想数列{an}的通项公式an=[(n-1)-(n-2)a]/[n-(n-1)a]，(a≥2)； 设当n=k时通项公式成立，ak=[(k-1)-(k-2)a]/[k-(k-1)a]，∵a(k+1)=1/(2-ak)， ∴a(k+1)=1/{2-[(k-1)-(k-2)a]/[k-(k-1)a]}=[k-(k-1)a]/[2k-2(k-1)a-(k-1)+(k-2)a]=[k-(k-1)a]/[(k+1)-ak]，当n=k+1时a(k+1)=[k-(k-1)a]/[(k+1)-ak]通项公式成立；则数列{an}的通项公式为：an=[(n-1)-(n-2)a]/[n-(n-1)a]，(a≥2)。