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解答题f(x)是定义在(-∞,-5]∪[5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)

答案:2  悬赏:70  手机版
解决时间 2021-04-11 01:11
解答题 f(x)是定义在(-∞,-5]∪[5,+∞)上的奇函数,且f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用定义给予证明.
最佳答案
解:奇函数在对称的区间上单调性相同,
f(x)在[5,+∞)上单调递减,
故f(x)在(-∞,-5]上是减函数,
证明如下:
任取x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥5.
因f(x)在[5,+∞]上单调递减,
所以f(-x1)<f(-x2)
又函数是奇函数,故有-f(x1)<-f(x2即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-∞,-5]上单调减函数.解析分析:由奇函数的性质,在对称区间上单调性相同,知f(x)在(-∞,-5]上是减函数,再用定义法证明,定义法证明单调性的步骤:任取区间上两个自变量,作差,整理成几个因子的成绩,判断差的符号,得出结论,证明本题时沿用此五步书写证明步骤.点评:本题考点奇偶性与单调性的综合,作为一个判断证明题,求解题时要注意做题的格式,先判断,再证明.本题中用定义法证明过程中获知f(x1)>f(x2)的方法是由函数的性质变形得到的,此是本题用定义法证明时与一般题过程中稍有不同的地方,请从抽象函数的角度考虑一下不同的原因.
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