高中数学函数问题

设函数y=x^3-6x+5 若关于x的方程y=a有3个不同的实根。求实数a的取值范围，当x属于（1，正无穷）时，f（x）>=k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围。

解：(1)f(x)=x^3-6x+5
f'(x)=3x^2-6=0 ...=>x=±√2
x<√2和x>-√2时，f'(x)>0，f(x)增
-√2<x<√2时，f'(x)<0，f(x)减
令 g(x)=f(x)-a=x^2-6x+5-a
所以x=√2是极小值，x=-√2是极大值
又有三个不同的实数根 ，则g(-√2)>0，g(√2)<0
g(-√2)=-2√2+6√2+5-a>0 ...=>a<4√2+5
g(√2)=2√2-6√2+5-a<0 ....=>a>5-4√2
(2)∵x^3-6x+5≥k(x-1)，x>1

令g(x)=f(x)-k(x-1)=x^3-(6+k)x+5+k

因为f(x)≥k(x-1)恒成立

所以g(x)≥0

整理得k≤(x^3-6x+5)/(x-1)

=>k≤x^2+x-5

=>k≤-3

(1)f(x)=x^3-6x+5 f'(x)=3x^2-6=0 ...=>x=±√2 x<√2和x>-√2时，f'(x)>0，f(x)增 -√2<x<√2时，f'(x)<0，f(x)减 令 g(x)=f(x)-a=x^2-6x+5-a 三个不同的实数根 ，则g(-√2)>0，g(√2)<0 g(-√2)=-2√2+6√2+5-a>0 ...=>a<4√2+5 g(√2)=2√2-6√2+5-a<0 ....=>a>5-4√2 (2)∵x^3-6x+5≥k(x-1)，x>1

令g(x)=f(x)-k(x-1)=x^3-(6+k)x+5+k

因为f(x)≥k(x-1)恒成立

所以g(x)≥0

整理得k≤(x^3-6x+5)/(x-1)

=>k≤x^2+x-5

=>k≤-3

先分解因式,用穿根法,奇穿偶回.再结合函数图象解答即可.