一道高中数学题目（有点规律）

N(a)代表a的最大奇数因数，如N(3)=3,N(10)=5. Sn=N(1)+N(2)+N(3)+......+ N(2的n次方-1)+N(2的n次方）＝＿。

从N[(2^k)+1]到N[2^(k+1)]算一下得到
N(1)=1
N(2)=1
N(3)+N(4)=4
N(5)+N(6)+N(7)+N(8)=16
.....
所以最后是一个
1+1+4+16+64+...+4^(n-1)这样一个数列除了第一项是个等比数列
最后得到1+(4^n-1)/3=(4^n+2)/3

一次函数

  一次函数i、定义与定义式：

  自变量x和因变量y有如下关系：

  y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

  则称y是x的一次函数。

  特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

  ii、一次函数的性质：

  y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

  即 △y/△x=k

  iii、一次函数的图象及性质：

  1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接）

  2． 性质：在一次函数图象上的任意一点p（x，y），都满足等式：y=kx+b。

  3． k，b与函数图象所在象限。

  当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

  当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

  当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。

  特别地，当b=0时，直线通过原点o（0，0）表示的是正比例函数的图象。

  这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

  iv、确定一次函数的表达式：

  已知点a（x1，y1）；b（x2，y2），请确定过点a、b的一次函数的表达式。

  （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

  （2）因为在一次函数上的任意一点p（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

  y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。

  （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

  （4）最后得到一次函数的表达式。

  v、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点

  vi、一次函数在生活中的应用

  1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

  2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。

  反比例函数

  形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

  自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

  反比例函数的图像为双曲线。

  如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

 

二次函数

  一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

  y=ax^2+bx+c (a≠0)

  （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大。）

  则称y为x的二次函数。

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  x是自变量，y是x的函数

  二次函数的三种表达式

  一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

  顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点p（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))

  交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点a（x₁ ，0）和 b（x₂，0）的抛物线]

  其中x1，2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a)

  注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

  ______

  h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

  二次函数的图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

  二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

  二次函数标准画法步骤

  （在平面直角坐标系上）

  （1）列表

  （2）描点

  （3）连线

  抛物线的性质

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。

  特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

  2.抛物线有一个顶点p，坐标为p ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

  当-b/2a=0时，p在y轴上；当δ= b^2-4ac=0时，p在x轴上。

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

  |a|越大，则抛物线的开口越小。

  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

  当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于（0，c）

  6.抛物线与x轴交点个数

  δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

  δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

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