已知α1，α2…αr与α1，α2…αr，β有相同秩,如何证明两向量组等价？

已知α1，α2…αr与α1，α2…αr，β有相同秩,如何证明两向量组等价？

证明：
设向量组I：α1，α2，...，αr，向量组II：α1，α2，...，αr，β
r(I)=r(II)=k≤r
显然向量组II能够线性表示向量组I
下面证明向量组I，能线性表示向量组II
①若r(I)=r(II)=r＜r+1
则β必然可由α1，α2，...，αr线性表示，且表示方法唯一。
②若r(I)=r(II)=k＜r
则设向量组I的一个极大线性无关组为，αi1，αi2，...，αij
则αi1，αi2，...，αij也是向量组II的线性无关向量
若αi1，αi2，...，αij，β线性无关，那么r(II)=k+1≠r(I)，与已知矛盾
则αi1，αi2，...，αij也是向量组II的极大线性无关组。
那么向量组I的极大线性无关组能够线性表示向量组II
所以向量组I能够线性表示向量组II
所以I与II等价。
【评注】
向量组等价：向量组I与向量组II能够互相线性表示，则称I，II等价。
证明向量组等价，即证明I线性表示II，再证明II线性表示I。