1个圆锥曲线题

椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）左右焦点F1  F2  ，M  N右准线上两个动点，且(向量F1M)·(向量F2N)=0

（1）设C是以MN为直径的圆，说明原点O与圆C的位置关系

（2）设椭圆离心率e=1/2,MN最小值为2√15，求椭圆方程

解:（1）证明：设M坐标为（a^2/c,y1) N坐标为(a^2/c,y^2)，

又：向量F1M*向量F2N=0，

即：F1M垂直于F2N，

则有y1/(a^2/c+c)・y2/(a^2/c-c)=-1,

即 y1・y2=(c^4-a^4)/c^2 （①式）

根据余弦定理有：

CosMON=(MO2+NO2-MN2)/(2MO*NO)

所以向量OM*向量ON

=MO*NO*CosMON

=(MO2+NO2-MN2)/2

将①式代入得：向量OM*向量ON

=[y1^2+a^4/c^2+y2^2+a^4/c^2-(y^1-y^2)^2]/2

=[2a^4/c^2+(2c^4-2a^4)/c^2]/2

=c^2
（2）根据题意有y1-y2>=2倍根号15，

又根据①式并代入离心率有y1・y2=-15a^2/4 （②），

因为y1>0，-y2>0，根据均值不等式并代入②式,有:

y1-y2=y1+(-y2)>=2倍根号(y1・y2)=a*根号15，

故:a*根号15=2倍根号15，

解得:a=2,c=1,b=根号3，

则椭圆方程为 : x^2/4+y^2/3=1

（1）将直线F1M向左平移c个单位，将直线F2N向右平移c个单位。两条直线都过原点，还保持垂直。

∴原点O在圆C外

（2）1/2=e=c/a,a=2c.a²/c=4c,设M(4c,x),N(4c,-y),设x+y=|MN|

x/(3c)=(5c)/y，15c²=xy≤[(x+y)/2]²=(2√15/2)²=15,c²=1,a²=4,b²=a²-c²=3.椭圆方程x²/4+y²/3=1