1道高一数学题

一、已知二次函数f(x)同时满足条件：

（1）f(1+x)=f(1-x)

（2）f(x)的最大值为15

（3）f(x)=0的两根立方和为17

求f(x)的解析式。

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设两根为X1,X2，则X1^3 + X2^3 = (X1+X2) (X1^2-X1X2+X2^2)=(X1+X2) (X1^2+2X1X2+X2^2-3X1X2)=17

由1，得知对称轴为X=1，得-b/2a=1

由2.得4ac-b^2/4a=15

由3，韦达定理，得（-b/a)((-b/a)^2-3(c/a))=17

三条式子三个未知数，因为有最大值，所以a<0,解得a= -(2√21)/3 b= 4√21/3 c=√21

二次函数对称轴为x=1

设二次函数解析式为y=a(x-1)²+15，(a＜0)

方程f(x)=0,ax²-2ax+a+15=0

△=4a²-4(a²+15a)≥0，a≤0

X1+X2=2,X1xX2=15/a

X1³+X2³=(X1+X2)(X1²-X1X2+X2²)

=(X1+X2)[(X1+X2)²-3X1X2)]

=2x(4-45/a)=17

a=-10

∴f(x)=-10x²+20x+5