X1X2...X40都是正整数 且X1+X2..+X40=58 若X1的二次方＋…＋X40的二次方最大A 最小B 求A＋B值

初一的暑期作业。。。

分析：因为58可以写成40个正整数和的方法只有有限种，故X1的二次方＋…＋X40的二次方的最值一定存在，不妨设X1≤X2≤X3
…≤X39≤X40,则40X1≥58，显然1≤X1<2，X40≥2
因此X1=1，要使X1的二次方＋…＋X40的二次方最大，X40必取最大，X2,X3…x39应尽可能小，若X1的二次方＋…＋X40的二次方最小，X40必取最小值2.
解：不妨设X1≤X2≤X3…≤X39≤X40，若X1>1，则x1+x2=（x1-1）+（x2+1），而（x1-1）²+（x2+1）²=x1²+x2²+2（x2-x1）+2>x1²+x2²，所以当Xi>1时，可以把Xi逐步调到1，这时X1的二次方＋…＋X40的二次方将增大，同样的可以把x2，x3…x39逐步调到1，这时X1的二次方＋…＋X40的二次方将增大，于是当x1=x2=…x39=1，x40=19时，X1的二次方＋…＋X40的二次方最大，即A=1²+1²…1²（39个）+19²=400.
若存在两个数Xj>Xi，使得Xj-Xi≥2（1≤i 这说明在X1X2...X40中，如果有两个数之差大于1，则把较小的数加1较大的数减1，这时X1的二次方＋…＋X40的二次方将减小，所以若X1的二次方＋…＋X40的二次方最小，X1X2...X40，
中任意两数差都不大于1，于是当x1=x2=…x22=1，x23=x24…=x40=2时，X1的二次方＋…＋X40的二次方最小，即B=
1²+1²…1²（22个）+2²+2²…2²（18个）=94
故A+B=494
反思：本题关键在于通过放缩对未知量X1,X40进行宏观控制，然后对中间量X2,X3…X39进行微观调整，逐步调整法是求最值的常用方法之一。
拓展：如果本题的58改为57，其他条件不变，则A+B=？
答案：454（过程仿上即可）

显然 4 = 1 + 3 = 2 + 2 而 1^2 + 3^2 > 2^2  + 2^2 根据此原理： x1²+x2²+x3²+……+x40²最小时，当且仅当x1到x40中有最多的2。设有y个2，则 2y + (40 - y) = 58，最多有y = 18个2 b = (2^2)*18 + (1^2)*(40-18) = 94 x1²+x2²+x3²+……+x40²最小时，当且仅当x1到x40中有1个数取到最接近58的值。显然最多有39个1时。剩余1个数最大是58 - 39 = 19 a = 19^2 + (1^2)*39 = 400 ∴a+b=400+94=494

A+B=(X1+X2+....+X40)2=58*58=3364