高数隐函数求偏导的一道题有答案

那个偏导符号打不出来,下面全部用d表示
首先题目给出的条件是
d(x,y)/d(u,v)
=dx(u,v)/du * dy(u,v)/dv - dx(u,v)/dv * dy(u,v)/du
≠0
其中x(u,v),y(u,v)是u,v的函数
答案中J那一步的意思是
J
= dF(x,y,u,v)/du * dG(x,y,u,v)/dv - dF(x,y,u,v)/dv * dG(x,y,u,v)/du
= dx(u,v)/du * dy(u,v)/dv - dx(u,v)/dv * dy(u,v)/du
≠ 0
这是因为
dF(x,y,u,v)/du
= d(x-x(u,v))/du
= dx/du - dx(u,v)/du
= -dx(u,v)/du
这里第一个dx/du为零是由于x,y,u,v是作为函数F的四个独立自变量,所以它们之间的偏导都是零.第二个dx(u,v)/du的x(u,v)是用u,v表示的函数,所以这个dx(u,v)/du等于之前上面x作为u,v的函数的dx(u,v)/du.
同理
dF(x,y,u,v)/dv = -dx(u,v)/dv
dG(x,y,u,v)/du = -dy(u,v)/du
dG(x,y,u,v)/dv = -dy(u,v)/dv
故
J
= dF(x,y,u,v)/du * dG(x,y,u,v)/dv - dF(x,y,u,v)/dv * dG(x,y,u,v)/du
= dx(u,v)/du * dy(u,v)/dv - dx(u,v)/dv * dy(u,v)/du
举一个例子：
令函数 x(u)≡u^2,F(x,u)≡x-u^2
则
dx(u)/du = 2u
dF(x,u)/du = -2u