先将数列微分,求和,然后再积分,这样的做法书上是有证明的,应该无误.

先将数列微分,求和,然后再积分,这样的做法书上是有证明的,应该无误.
但是如果微分以后再积分出现了ln函数,那常数C应该如何取?
比如在解题时遇到一个∫ [cosθ-r]/[r²-2rcosθ+1] dr,我是设[cosθ-r]/sinθ=tant,然后解出结果
=-1/2 ln[r²-2rcosθ+1] / sin²θ
但是这里就出现问题了,当sinθ=0的时候根据常识也知道原式必然收敛,但这样的计算结果却是必然不收敛.但是这个式子是对r积分,1/2lnsin²θ实际上是一个常数,有没有都不影响结果.可是这却是在数列求和中的一个步骤,不是求不定积分那样可以在后面随意加一个常数C,那这个常数到底是应该有还是不应该有?一步一步三角代换积分出来的结果是有这个东西的

你在假设[cosθ-r]/sinθ=tant时已经隐含的运用sinθ不为0
sinθ=0时,要分开讨论
常数C是要加的,然后运用条件来确定
如果是求加和的话,对于sigma an x^n的形式,一般带入x=0
看原式是多少,然后和现在比对,找出合适的常数即可.
再问： 用别的方法设不知道该怎么求。我只会三角代换和分部积分两种方法，所以这个分数线也只好先把sinθ提出来凑一个sect 而且sinθ=0时t不是取π/2吗？ 换个例子，∫sinθ/(r²-2rcosθ+1)dr，它的结果就是arcan[(r-cosθ)/sinθ]
再答： 就题论题 sinθ=0时 cosθ=正负1 所以只需要积 [正负1-r]/[r²减加2r+1] 很简单的有理积分 ∫sinθ/(r²-2rcosθ+1)dr sinθ=0时积分显然为0 你的答案却不满足吧
再问： 那当sinθ趋向于0时呢？
再答： arctan[(r-cosθ)/sinθ] 极限是多少？ 反正不是0 如果括号内趋于正无穷 得到pi/2 负无穷则是-pi/2
再问： 在那个∫ [cosθ-r]/[r²-2rcosθ+1] dr中如何证明原式的常数C应该为0呢？一步一步积分的结果是lnsinθ啊 也是一步一步推出来的结果。
再答： 你是在求一个和式么？还是只有这个不定积分？ 不定积分显然要加C 如果有和式请把和式写出（原题）
再问： rcosθ+r²cos2θ/2+r³cos3θ/3...
再答： 代入cosθ=0时，和式=0 来求C 可以得到 级数=ln[]/sin^2 +C 0=ln 1/sin^2 +C 0=0+C C=0
再问： 但是θ毕竟也是个变量，而且这个C只是与r无关而已，代入的两个特殊值只能说明C(sinθ)在sinθ=1和sinθ=0时均为0，但并不能说明C≠(|sinθ|-1/2)²-1/4之类的啊。
再答： 我说错了，是带入r=0