数学求证一个圆中。两段弧相等，那么弧所对应的弦也相等。

数学求证一个圆中。两段弧相等，那么弧所对应的弦也相等。

设弧AB对应的弦为AB，作弦AB的垂直平分线QO交AB于Q
弧CD对应的弦为CD，作弦CD的垂直平分线OP交CD于P
已知弧AB=弧CD，证AB=CD。
证明思路如下：

这样楼主应该会证明了吧

同弧或等弧所对的圆心角相等,这个结论没问题吧?
没问题的话,利用SAS不就马上出来弦相等了吗?追问那可以计算出弓形的面积嘛？然后利用面积相等证明出弦相等追答面积等，弦为什么等？追问因为弧相等呀？！弧所限定的空间自然相等呀两条弦在弧的空间中的位置一样呀因为弦是两个弧的端点的连线弦是一个弧的两个端点的连线，应该这么说追答那请问弓形面积为什么等呢?你如何计算的?追问F=1/2【rL-c(r-h)】已知，弓形圆心角，弧长，弓形半径，弦高相等，反证法，如果面积不相等，那么，弧长所在的空间必然会有所不同，那么弦高也不可能相等，所以面积必须相等，即证明追答好，弦高为什么等？不要告诉我说是相等的弦所对应的弦心距相等。追问既然是高，那么必然是垂直于弦的，而且必须是弦到弓形弧距离最远的那个点，而弧的中点就是最远的那个点在两个相等的弧中只存在这一种情况，虽然不能够说明他就是弦的中点（循环论证），但是也足以说明这两个高是相等的因为弧的中点只有一个，追答

1. 你定义弓形的高为弧上的点到弦距离最大的那条线段,这个没问题.

2. 弧的中点就是到弦距离最远的点,这是你通过什么定理得到的?请你不要说不足以证明这种话,你既然已经知道不足以证明是中点,你怎么能使用这个结论?

3. 就算你证明出来弧的中点到弦的距离就是最远的距离,你也还是没有回答我说弓形面积为什么等呀,你弓形面积的公式中,并没有出现你定义的这个高.
   

追问

H是弦高把弧二等分，离弧二等分点越近的位置，垂直距离越远，反之亦然，我说的不是弧的中点不能证，而是一旦确立弧的中点，就可以明确距离最远的点，但是你却不能用这个结论来证明弧的中点一定在弦的二等分上，因为那会导致循环论证，我想说的是只要两端弓形的弧相等，那么这个距离就是唯一的，并且是相等的追答你要证明面积等,可以通过弓形全等来得到,这个我就不与你纠缠.接下来的问题就是,你如何证明你定义的高,就是公式中的h.你说离弧中点越近的位置,到弦的垂直距离越远,是什么公式或者定理得到的?
其实除了我说的SAS全等以外,弓形的全等完全够了.什么叫等弧?能够重合的两条弧叫做等弧.既然能重合,它们的端点当然也重合.既然两个端点重合了,它们之间的线段(也就是弦)当然也重合,那不就相等了吗?追问我的提问就是为什么等弧对等弦，所以您刚才说的对我我的题目来说真的有意义嘛？！我并非要纠缠，只是想寻求另外一种解释罢了，如果有不足的地方，我可以继续改进我只是觉得面积并非一条死胡同，只是我还没有找到正确的方法，以后还需要多多请教，谢谢🙏追答你要找另一种解释可以，但你要进行的相应说明就太多了，例如我问你的为什么中点到弦距离最长？你怎么确定你定义的高就是公式中的h？如果你只是作为课外的兴趣去研究的，那你时间多绕远路也没关系，但要是你在考试的时候还东想西想，你就是自掘坟墓。追问“你要找另一种解释可以，但你要进行的相应说明就太多了，例如我问你的为什么中点到弦距离最长？”———-咱们一个一个问题的回答，您之前也说过，就像角平分线定理一样，是为了确保角平分线的唯一性，这个可以用反证法，如果不是中点的话，你在任意位置都可以找到一个对应的高，也就是两个垂直的距离，这不满足高定义中的唯一性，弧的二等分点只有一个，其他的等分点都不满足这个性质，这样就足以确保高的唯一性，我不知道这么说您能不能明白追答注意哦我问的不是说,为什么中点到弦的距离是高.我问的是,为什么中点到弦的距离最长(而不是最短).这条线段用对称性可以知道确实是唯一的长度,我只是问你为什么这条线段就是最长的,为什么这条线段就是公式中的h