定理说，若x1……xn是取自正态分布的一个样本，则x拔与S^2独立。那么x拔

定理说，若x1……xn是取自正态分布的一个样本，则x拔与S^2独立。那么x拔

是不独立的，拿n=2的时候举个反例就可以。
假设是标准正态分布，只有x1和x2，
那么x拔=1/2(x1+x2),S^2=1/2·(x1-x2)^2，
此时x拔^2期望为1/2·σ^2,S^2期望为σ^2,
而x拔^2*S^2=1/4·(x1^2-x2^2)^2=1/4(x1^4-2x1^2·x2^2+x2^4)
标准正态分布的4阶矩期望为3σ^4，x1^2与x2^2独立且期望为σ^2,
那么得出x拔^2*S^2=1/4(3σ^4-2σ^4+3σ^4）=σ^4
即两者乘积的期望并不等于它们期望的乘积，是不独立。追问
很详细谢谢！那请问您是否清楚，这里方差为什么可以这样这样拆？追答就俩个独立的X、Y而言，它们和或者差的方差就等于它们方差的和。
即
D(X±Y)=DX+DY
因为D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)的最后一项在X、Y独立的时候为0。追问你之前也说，x拔^2与s^2不独立呀，协方差那一项为什么是0呢？追答没注意，我以为里面是x拔，那如果只有你说的条件，这个方法确实是有问题的。起码有其他条件说明Cov（x拔^2,S^2）=0。
就你问的原问题而言，结论是不独立。追问
这是2008年的一道考研题，答案上就是这个求DT的……看了好久都不懂…
追答看了一下，大部分答案确实是你列的那个求法，那个求法应该是有问题的，真正求起来目前想到的好点的就是利用题中所说的当x~N(0,1)时，T的期望为0，然后用定义展开求
DT=E(T^2)=Ex拔^4-2/n*E(x拔^2*S^2)+1/n^2ES^4
不过这个就是个偏硬算的过程。利用
Exi^4=3σ^4
Exi^2·xj^2=σ^4 (i≠j)
其他奇数次的相乘项期望均为零计算吧，答案我现在不大方便给你算出来。

楼上仁兄的答案有问题，建议大家去知乎看，或者看茆诗松的概率论与数理统计，在定理5.4.1给出了详细证明，证明了正态总体下，x拔和s方是相互独立的