证明有无穷多个形如3n+1的素数

如果要用到超过本科的知识请在解答的后面附上参考书目，谢~ 特别注意一下，两个3n+2之积是3n+1的，所以一般那种素数相乘再加1的方法是不对的

用反证法就可以了。 设存在有限个形如3n+1的素数， 其中最大的一个是3k+1 那么将3k+1之前的除去3的所有素数乘起来 2*5*7*11*......(3k+1) 令S=2*5*7*11*......(3k+1) 由于S中没有素因数3，所以S不是3的倍数，只能是3n+1或者3n+2的形式，而且还是偶数。 ①如S=3n+1， 那么S+3就是3n+1的形式，且不含有2——(3k+1)中的任意一个数为因数，即为素数。 ②如S=3n+2， 那么S-1还是3n+1的形式，也不含有2——(3k+1)中的任意一个数为因数，也为素数。 此时，S-1=2*5*7*11…（3k+1）-1>3k+1 那么就说明①②两种情况都存在一个比3k+1还大的形如（3n+1）的素数， 所以对于任意满足上述条件且形如3k+1的数， 都存在一个形如（3n+1）的素数。 与假设矛盾，所以存在无限个形如（3n+1）的素数 所以原命题得证.

证明 先说明一个简单常识，如果形如(3k+2)的数不是素数，必有形如(3k+2)的素因数，否则形如(3k)，(3k+1)的数是怎么也乘不到形如(3k+2)这样的数的 再看这道题 如果是有限个，设最大的一个是3k+2 那么将3k+2之前的除去3的所有素数乘起来 2*5*7*11*......(3k+2) 令s=2*5*7*11*......(3k+2) 由于s中没有素因数3，所以s不是3的倍数，只能是3n+1或者3n+2的形式，而且还是偶数 如果是3n+1，那么s+1就是3n+2的形式，但是他不含有2——(3k+2)中的任意一个数为因数，因此就不能有形如(3k+2)的因数 如果是3n+2，那么s+3还是3n+2的形式，但是他也不含有2——(3k+2)中的任意一个数为因数，因此就不能有形如(3k+2)的因数 那么就说明都存在一个比3k+2还大的形如（3n+2）的数他只能是素数，与假设矛盾 所以原命题得证