直线7x+24y-14=0与互相外切的半圆C1，C2…，Cn，…都相切，这些半圆的圆心分别是

直线7x+24y-14=0与互相外切的半圆C1，C2…，Cn，…都相切，这些半圆的圆心分别是

当y=0时：7x-14=0得x=2所以P点坐标（2,0）
当x=0时：24y-14=0得y=7/12所以Q点坐标（7/12，0）
所以QO=7/12 OP=2
PQ=√QO平方+op平方=√49/144+4=25/12
连接各外切圆直线切点分别为A1,A2,A3,......An
∠POQ=∠PA1C1=......=∠PAnCn=90°
可证：△POQ∽△PA1C1∽......∽△PAnCn
所以C1A1/PC1=QO/PQ
r1/（2-a1）=（7/12）/（25/12）
r1=a1
所以r1/（2-r1）=7/25
r1=7/16

过所有圆心做直线的垂线，所得三角形三边的比为7：24：25（与△AOB相似，7/12：2：25/12）
AO(n-1)=25/7[R(n-1)]
Rn/R(n-1)={25/7[R(n-1)]-R(n-1)-Rn}/{25/7[R(n-1)]}
Rn=9/16R(n-1)
是等比数列，Rn=7/16*(9/19)^(n-1)

ln=∏*(r1+r2+r3+rn)=∏*{7/16*[1-(9/16)^n]}/[1-9/16]
=∏*[1-(9/16)^n]

解法，我就不说了，

我提示你1：圆心到直线的距离和半径相等，也就是R1=L=

7*A1-14/根号7平方+24平方=7A1-14/25（点到直线距离公式）

2：看直线和坐标构成三角行，连接圆心到直线的距离的三角行相似。

PC2/PC1=R2/R1

然后你该知道了吧。