在△CAB,△DEB中,CA=CB,DE=DB,∠ACB=∠EDB=90°

(1)CM=DM,且CM⊥DM.
证明:∵∠ACE=90°;M为AE的中点.(见原图5.)
∴CM=AE/2=AM(直角三角形斜边的中线等斜边的一半)
∴∠MCA=∠MAC,则∠CME=∠MCA+∠MAC=2∠MAC.
同理可证:DM=AE/2,∠DME=2∠MAD.
∴CM=DM;∠CME+∠DME=2(∠MAC+∠MAD)=90°,即CM⊥DM.
(2)⊿DEB绕点B旋转时,(1)中的结论"CM=DM,CM⊥DM"不发生变化.
①证明:延长CM到F,使MF=CM.连接EF,DF,CD.(见下方左图)
∵MF=CM,ME=MA,∠EMF=∠AMC.
∴⊿EMF≌⊿AMC(SAS),EF=AC=BC;∠EFM=∠ACM,得EF∥AC.
又AC⊥BC,故EF⊥BC,则∠FED+∠COE=90°;
又∠CBD+∠BOD=90°,∠COE=∠COE.
∴∠FED=∠CBD(等角的余角相等).
∵EF=BC;DE=DB;∠FED=∠CBD.
∴⊿FED≌⊿CBD(SAS),DF=DC;∠FDE=∠CDB.
则∠FDC=∠EDB=90°.故CM⊥DM;DM=CF/2=CM.(等腰三角形"三线合一")
②延长CM到F,使MF=CM,连接EF,DF,CD.(见下方中图).
同理可证⊿EMF≌⊿AMC,EF=AC=CB,∠MEF=∠MAC.
∴∠DEF=360°-(∠MEF+∠MEB+∠DEB)=360°-(∠MAC+∠MEB+45°)=360°-(∠CAB+∠BAM+
∠MEB+45°)=360°-(90°+∠BAM+∠MEB)=360°-90°-(∠BAM+∠MEB)=270°-(180度-∠ABE)=90°+∠ABE=∠CBD;又EF=CB,DE=DB.
∴⊿EDF≌⊿BDC(SAS),DF=CD;∠EDF=∠BDC.
则∠CDF=∠BDE=90°.故CM⊥DM;DM=CF/2=CM.
③延长CM到F,使MF=MC,连接EF,DF,CD,延长EF交BD于O,交BC于N.(见下方右图)
与①同理可证:EF=AC,EF∥AC;又AC垂直BC,则EF垂直BC.
∴∠CBD+∠BON=90°;又∠DEF+∠DOE=90°,∠BON=∠DOE.
∴∠CBD=∠DEF(等角的余角相等);又EF=BC,DE=DB.
则⊿DEF≌⊿DBC(SAS),DF=DC;∠EDF=∠BDC.
∴∠CDF=∠EDB=90°;又MF=MC.
故CM=DM;CM⊥DM.

名师点评：

袁乐儿wqf