初三数学已知△ABC中∠BAC=90°，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点E，EF∥BC，交AC于点F，求证：AE=CF

初三数学已知△ABC中∠BAC=90°，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点E，EF∥BC，交AC于点F，求证：AE=CF

只需要证明三角形全等就行了

分别过E,F做AB,BC的垂线，垂足分别是P,Q，由直角三角线的角度关系可知：

<PAE=<QCF

<APE=<FQC

同时

BE是<ABC的平分线 EP,ED是边上的垂线段

ED=EP

而ED=FQ

所以EP=FQ

所以三角形APE 全等于CQF

所以AE=FC

过E,F做AB,BC的垂线，垂足分别是M,N

因为BE平分∠ABC，所以ME=DE, 又因为NF=DE（DEFN是矩形），所以ME=NF。

又因为∠MAE+∠MEA=90°，∠EAF+∠MAE=90°，所以∠MEA=∠EAF，

又因为NF∥DA，所以∠NFC= ∠DAF，所以∠MEA=∠NFC，所以△MEA≌NCF(ASA)，所以AE=CF

∵∠BAC=90°,∴BC>AB,在BC上截取BP=BA,连PE,BE=BE,∠ABE=∠PBE,

∴△ABE≌△PBE,AE=PE,∠BAD=∠BPE,

∵AD⊥BC,∴∠BAD=∠C,∴∠BPE=∠C,

∴EP∥AC,∵EF∥BC,∴EPCF是平行四边形,PE=CF,

AE=CF.