一个可以求出准确解的初等超越方程

（a>1）

求当取到等号的时候a,x,的值（x>0）

强烈抵制某同志严重贬低初等数学的言论！难道某同志非比寻常不是从初等数学开始学而是一出娘胎就学高等数学的要是真的很牛就自己开创一门比微积分高明N倍的高高等数学啊牛顿莱布尼茨难道不是从初等数学开始一步一个脚印学起来的吗他们是积累到一定阶段才在前人的基础上发现极限和微积分的人家都不说初等数学怎么怎么地（牛顿同志还说过他是站在巨人的肩膀上呢）某同志又有什么资格说！如果微积分是科学的大门那初等数学就是通往这扇大门的道路；如果连路都不要了我看某同志怎么去通向科学的大门从天上飞过去不成没有初等数学提供那么多难题来训练大脑逼得大师们去寻找其它有突破性的新型理论工具今天的数学又从哪里来的进步！典型的娶了媳妇忘了娘……


我就用初等数学的方法来解一解首先是将元素抽象化草地边缘抽象为圆周木桩抽象为圆周上一点绳子抽象为线段羊抽象为绳子端点（即线段端点）这样原题可变为：已知一个定圆取圆周上一点为圆心画一个新的圆且两圆相交部分的面积恰为定圆面积的一半求两圆的半径比

设草地为⊙P半径为R；设木桩为点P即为新圆⊙Q圆心设⊙Q半径为r；设⊙P与⊙Q的两个圆周交点为AB；连接ABPQAB与PQ交于点O；连接PAPBQAQB；延长QP与⊙P圆周交于点F连接FAFB

首先可知PF=PQ=PA=PB=RQA=QB=r；FQ是⊙P直径因此FA⊥QAFB⊥QB；AB为⊙P与⊙Q的公共弦易证PQ⊥ABOA=OB∠OPA=∠OPB=∠APB/2∠OQA=∠OQB=∠AQB/2

为解题方便设∠OPA=∠OPB=a(弧度)∠OQA=∠OQB=b(弧度)设∠AQB=x(弧度)则b∈(0π/2)x=2bx∈(0π)∠APB=2a；由圆周角与对应圆心角的关系可知∠PFA=∠OPA/2=a/2(弧度)

将几何关系用代数式表示：
FA⊥QA：∠PFA+∠OQA=π/2即a/2+b=π/2因此：
a=π-2b………………………………………………………………………（1）
PQ⊥AB：OP=PAcos∠OPA=RcosaOQ=QAcos∠OQA=rcosbOP+OQ=PQ即：
Rcosa+rcosb=R………………………………………………………………（2）
PQ⊥AB：OA=PAsin∠OPA=RsinaOA=QAsin∠OQA=rsinb即：
Rsina=rsinb…………………………………………………………………（3）

两圆相交部分面积（记为S）等于⊙P与⊙Q的两个弓形（记为Gp与Gq）面积之和而两个弓形面积分别等于两个扇形（记为Sp与Sq）面积减去对应的圆心三角形ΔPABΔQAB面积（记为SΔpSΔq）：
Sp=π(R^2)×(∠APB)/(2π)=π(R^2)(2a)/(2π)=aR^2（R^2表示R平方下同）
Sq=π(r^2)×(∠AQB)/(2π)=π(r^2)(2b)/(2π)=br^2

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SΔp=AB×OP/2=OA×OP=Rsina×Rcosa=R^2sinacosa
SΔq=AB×OQ/2=OA×OQ=rsinb×rcosb=r^2sinbcosb
S=(Gp-SΔp)+(Gq-SΔq)=aR^2-R^2sinacosa+br^2-r^2sinbcosb
现知S是⊙P面积的一半即：
aR^2-R^2sinacosa+br^2-r^2sinbcosb=(πR^2)/2………………………（4）

由（3）知r=Rsina/sinb连同（1）一同代入（4）利用相关的三角函数关系式可消元移项化简得关于b的关系式：
π-4b+sin4b+8b(cosb)^2-4sin2b(cosb)^2=0………………………………（5）
再利用正弦余弦倍角关系sin4b=2sin2bc