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如图,已知正方形ABCD和正方形DEFG,点G在AD上.连接AE交FG于点M,连接CG并延长交AE于点N,(1)写出图中所有与△EFM相似的三角形;?(2)证明:EF

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解决时间 2021-01-24 02:49
如图,已知正方形ABCD和正方形DEFG,点G在AD上.连接AE交FG于点M,连接CG并延长交AE于点N,
(1)写出图中所有与△EFM相似的三角形;?
(2)证明:EF2=FM?CD.
最佳答案
解:(1)根据题意得:△EFM∽△CGD∽△NEC∽△AGM∽△AGN∽△GMN∽△ADE;

(2)∵正方形ABCD和正方形DEFG,
∴AD=CD,DE=DG,∠ADE=∠CDG=90°,
∴△ADE≌△CDG,
∴∠DAE=∠DCG,
又AD∥EF,∴∠DAE=∠FEN,
则∠DCG=∠FEN,
∠GDC=∠EFM=90°,
∴△EFM∽△CGD,
得比例GD:MF=CD:EF,
由正方形DEFG,得GD=EF,
则EF2=FM?CD.解析分析:(1)△CGD,△NEC,△AGM,△AGN,△GMN,△ADE都与△EFM相似,△CGD与△EFM相似,原因是由两正方形的性质得到一对直角相等,两对边长相等,进而得到三角形ADE与三角形CDG全等,得到对应角∠DAE与∠DCG相等,根据AD与EF平行,得到内错角∠DAE与∠FEN相等,根据等量代换得到∠DCG与∠FEN相等,由两对对应角相等的两三角形相似即可得证;△NEC与△EFM相似,由∠DCG与∠FEN相等,且∠CNE与∠F相等都为直角,故得证;△ADE与△EFM相似,原因是由AD与EF平行得到一对内错角相等,另加一对直角相等,故得证;△AGM与△EFM相似,∠DAE与∠FEN相等且对顶角相等即可得证;△AGN与△EFM相似,∠DAE与∠FEN相等,∠ANG与∠F相等都为直角,即可得证;△GMN都与△EFM相似,由直角∠GNM与∠F相相等且一对对顶角相等即可得证;(2)由(1)中得到的△EFM∽△CGD,得到对应边成比例,得到一个比例式,根据正方形的边长相等等量代换即可得证.点评:此题考查了正方形的性质,全等三角形的判断与性质以及相似三角形的判断与性质.考查学生应有的观察和逻辑思维能力,解决这类问题的方法一般采用“联想分析综合法”,即先“联想”发现结论,然后分析寻找,总结结论.
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