△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且向量3OA+4OB+5OC=O,①求向量OA·OB,OB·OC,OC·OA.②求△ABC的面积.

△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且向量3OA+4OB+5OC=O,①求向量OA·OB,OB·OC,OC·OA.②求△ABC的面积.

解：(1).∵A,B,C在单位圆上，∴｜OA｜=｜OB｜=｜OC｜=1
取OC与X轴的负向重合，于是OC=icos180?+jsin180?=-i,
5oc=-5i.
∵3OA+4OB=-5OC=5i,故可在x轴的正向上取一点D，使｜OD｜=5，
并以OD为斜边，以3｜OA｜=3，4｜OB｜=4作直角三角形，便有：
3OA+4OB=OD=5i.故OA⊥OB，
OA与X轴正向的夹角α=arccos(3/5),(OA在第一象限）
OB与X轴正向的夹角β=arccos(4/5).（OB在第四象限）
于是∠AOC=180°-α=180°-arccos(3/5)
∠COB=180°-β=180°-arccos(4/5)
故OA•OB=｜OA｜｜OB｜cos90°=0
OB•OC=｜OB｜｜OC｜cos∠COB=cos[180°-arccos(4/5)]
=-cosarccos(4/5)=-4/5
OC•OA=｜OC｜｜OA｜cos∠AOC=cos[180°-arccos(3/5)]
=-cosarccos(3/5)=-3/5.
（2）。又因OA,OB,OC已知，可得cosA,COSB,COSC,可得sinA,SINB,SINC,可得，oab,oac,obc面积

3OA+4OB=-5OC,两边平方后可得OA.OB，同理得OB.OC,OC.OA
又因OA,OB,OC已知，可得cosA,COSB,COSC,可得sinA,SINB,SINC,之后可得，oab,oac,obc面积，之后.......