证明四条腿等长的凳子其凳子腿在同一平面上

证明四条腿等长的凳子其凳子腿在同一平面上

这是数学建模题。
模型假设 对椅子和地面应该作一些必要的假设：
1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
假设1是合理的。假设2相对于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方时无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），致使三只脚无法同时着地。
模型构成：首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅子连线呈正方形，以中心点为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。【做一个直角坐标系，椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子绕中心点O旋转角度θ后，正方形ABCD转至A'B'C'D'的位置，所以对角线AC与x轴的夹角θ表示了椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的对称性，只要设两个距离函数就行了。记A，C，两脚与地面之和为f（θ），B,D两脚与地面距离之和为g（θ）【f（θ），g（θ）≥0】由假设2，f和g都是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对任意的θ，f（θ）和g（θ）中至少有一个为零。当θ=0时，不妨设g（θ）=0，f（θ）＞0，这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归纳为证明如下的数学命题：
已知f（θ）和g（θ）是θ的连续函数，对任意θ，f（θ）×g（θ）=0，且g（θ）=0，f（0）＞0，证明存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0
模型求解 将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换。由g（0）=0，f（0）＞0可知，g（π/2）＞0和f（π/2）=0
令h（θ）=f（θ）-g（θ），则h（0）＞0和h（π/2）＜0。由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在θ0（0＜θ0＜ π/2），使h（θ0）=0，即f（θ0）=g（θ0）
最后，因为f（θ0）×g（θ0）=0，所以f（θ0）=g（θ0）=0
注：模型假设中“四角连线呈正方形”不是本质的，你还可以考虑四脚连线呈长方形的情况。
祝你学习进步！好的话别忘了采纳！

可以用立体几何的公理证明阿~~
当四条腿都垂直于地面，同时垂直于凳子面的时候，都有4个点到地面的距离相等了，那么两个平面当然平行了~~~~~
还用什么数学系阿~~分明就是高1的知识。

因为凳子的四条腿是共面的，一开始不平说明地面是不平的，则说明地面是连续变化的。
椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，令相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f(θ)和g(θ)，θ表示凳子绕中心旋转角度，(f(θ),g(θ)≥0)。由于地面是连续变化的，f和g都是连续函数。对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的θ，f(θ)和g(θ)中至少有一个为零。当θ=0时不妨设g(θ)=0，f(θ)>0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：
已知f(θ)和g(θ)是θ的连续函数，对任意θ，f(θ)·g(θ)=0，且g(0)=0,f(0)>0.证明存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.
因此根据连续函数的介值定理。当凳子不能放稳时，可以保持凳子的中心轴线不变，然后转动凳子，其中必有至少一个位置使凳子的四个腿位于一个平面上，这样凳子就可以放稳了。