如果形如（a+b）的二项式的次数为分数，那么将需要如何表示？

如果形如（a+b）的二项式的次数为分数，那么将需要如何表示？

用杨辉三角表示二项式展开的系数，只限于指数是自然数的情况。
对
(a+b)^0.5 = √(a+b)
一般不必再展开了。
指数如果是小数、分数，一般是没有有限的展开项的，但利用高等数学的知识可以用无穷级数展开。

4楼很强大

作者明显对杨辉三角有所研究，而且很执着啊！
可惜杨辉三角只适用于幂指数为0和自然数的多项式n次方，
目前尚无人能猜想或证明有一条公式能适用于幂指数为分数或负数的多项式n次方，所开出来的各项系数。
如果能够的话，那个人在数学领域所做的贡献足以获诺贝尔数学奖。

杨辉三角只适用于正整数，不适用于分数，正如：
对于任意的a,b根号下a+b已是最简形式，不能再分开了

首先我要说，这个问题其实早就得到了相当完美的数学的解答。
并非像楼主说的“人们对平方与开方的研究还远远不够深入”，
更不像楼上所说的“尚无人能猜想或证明有一条公式能适用于幂指数为分数或负数的多项式n次方，所开出来的各项系数。如果能够的话，那个人在数学领域所做的贡献足以获诺贝尔数学奖。”（纠错，诺贝尔从来就没有数学奖！）

它所涉及的领域就是现代数学的基础课程——【数学分析】。
这个是属于多项式逼近理论，幂级数展开和无穷级数的收敛的问题。

为了叙述的得有条理，我先把标准的定理给出，再来说明使用条件即如何推广到一般情况。

标准的定理是这么叙述的：
(1+x)^α=∑【C(k,α)×x^k】

一，符号说明
1. x^y 表示 x 的 y 次方
2. ∑【】表示里面是关于k的数列，对k=0，1，…，正无穷，求和
即
∑【C(k,α)×x^k】= C(0,α)×x^0 + C(1,α)×x^1 + , …
3. C(k,α)其实是组合数的推广，定义为：
C(0,α) = 1
C(k,α) = α(α-1)(α-2)…(α-k+1)/k! (k=1,2,3,…)

二，适用范围
α≤-1 时 ，上式对 x∈(-1 , 1)成立
-1<α<0 时，上式对 x∈(-1 , 1]成立
0 < α 时 ，上式对 x∈[-1 , 1]成立
【α甚至可以是无理数，但不能是复数。】
【另外，别问我α=0怎么办啊，除非你昏了头！】

三，应用办法
现在来讨论如何利用这个式子来求 (a+b)^α
既然有必要求解的话，我们不妨设
1. a，b都不等于零
2. a≠b，否则写成 2^α×a^α就可以了
3. a+b≠0，否则结果为 0

这样一来 a b 的绝对值都不相等，
不妨设 |b| < |a| ，所以 b/a ∈(-1 , 1)
所以
(a+b)^α= a^α×(1+b/a)^α
= a^α×∑【C(k,α)×(b/a)^k】
= ∑【C(k,α)×b^k×a^(α-k)】
= a^α + α×b×a^(α-1) + α(α-1)/2 ×b^2×a^(α-2)
+ ,…, + α(α-1)(α-2)…(α-k+1)/k!×b^k×a^(α-k)
+ ,…

最后，讨论一下α=1/2 的情况，即(a+b)^(1/2)
先看看此时，系数 C(k,α) 会变成什么形式
C(0,1/2) = 1
C(k,1/2) = (1/2)(1/2 - 1)(1/2 - 2)…(1/2 - k+1)/k!
= (-1)^(k-1) × 1 × 3 ×,…,×(2k - 3)/[2^k×k!]
= (-1)^(k-1)×(2k - 2)!/[2^(2k-1)×(k-1)!×k!]
= (-1)^(k-1)×(2k)!/[2^(2k)×k!×k!×(2k-1)]
= (-1)^(k-1)×C(2k,k)/[2^(2k)×(2k-1)]
【其实这个表达式有很奇妙的意义】

所以
(a+b)^(1/2) = = a^(1/2)×∑【C(k,1/2)×(b/a)^k】
= ∑【C(k,1/2)×b^k×a^(1/2-k)】
= a^(1/2) + (1/2)×b×a^(-1/2) + (-1/8) ×b^2×a^(-3/2)
+ (1/16) ×b^3×a^(-5/2) + (-5/128) ×b^4×a^(7/2)
+ ,…, + (-1)^(k-1)×C(2k,k)/[2^(2k)×(2k-1)]×b^k×a^(1/2 - k)
+ ,…

最后，我想说，不知是这种幂函数，像指数函数，对数函数，三角函数等等，许多的函数都可以表示成这种类似的形式，甚至。。。（反正有很多很多种推广的，多到我都不知该怎么说了）

呵呵，我打了这么多，只是希望大家稍微了解一些知识，至少要相信数学的力量是很强大的。不要再说“搞清楚这个就可以得诺贝尔数学奖这样的话了”（实话说，我是学数学的，听到这句话真的很不爽）。

Raymond Hu 7:13 2008-6-9