一道很难的数学题目？

三角形ABC与三角形ADE为等边三角形

B点A点E点在同一直线上

连接BD交AC于M，连接CE交AD于N

连接MN

  求证： （1）BD=CE (2)BM=CN (3)MN // BE

1.∵BA=CA,角BAD=角CAE，AD=AE

   ∴△BAD≌△CAE

  ∴BD=CE

2.由（1）知∠DBA=∠ACE，

    又因为BA=AC,∠BAC=∠CAD，所以△BMA≌△CNA

    所以BM=CN

3.由（2）知，MA=NA，又因为∠CAD=60°，所以△MNA是等边三角形，所以∠MNA=60°

    又因为∠DAE=60°，所以MN∥BE（内错角相等，两直线平行）

（1）解：∵△ABC与△ADE为等边三角形

    ∴AC=AB，AE=AD ，∠DAE=∠CAB=60°

    ∴∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠CAB

     ∠CAE=∠BAD

    在△CAE和△BAD中

    AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD

    ∴△CAE≌△BAD（SAS）

    ∴BD=CE

(3)解:∵∠DAE=∠CAB=60°，△CAE≌△BAD，

    ∴∠MAN=180°-∠DAE-∠CAB=180°-60°-60°=60°，∠CEA=∠BDA

    ∴∠MAN=∠DAE

    在△NAE和△MAD中

    ∠DAE=∠MAN，AE=AD，∠CEA=∠BDA

    ∴△NAE≌△MAD（ASA）

    ∴AN=AM

    ∵∠MAN=60°

    ∴△MAN是等边三角形

    ∴∠MNA=60°

    ∵∠DAE=60°

    ∴MN // BE

(2)解：∵△CAE≌△BAD，AC=AB

    ∴∠ACE=∠ABD

    ∵∠MAN=∠MAB=60°（我在第（3）问已证，怎么证请看第三问）

    在△CAN和△BAM中

    ∠ACE=∠ABD，AC=AB ，∠MAN=∠MAB

    ∴△CAN和≌△BAM（ASA）

    ∴BM=CN

证明：(1)  ∵ 三角形ABC与三角形ADE为等边三角形

    ∴∠BAC=∠DAE=60度

    ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

    即∠BAD=∠CAE

    又 ∵BA=CA，DA=DE

    ∴△BAD全等于△CAE

    ∴BD=CE

    (2)  ∵∠CBA=∠DAE=60度

    ∴BC∥DA

    ∴△BEC相似于△AEN

    ∴CN / CE=BA / BE

    同理，∵∠BAC=∠AED=60度

    ∴AC∥DE

    ∴△ABM相似于△EBD

    ∴BM / BD=BA / BE

    ∴CN / CE=BM / BD

    又 ∵BD=CE

    ∴BM=CN

    (3)  ∵∠BAC=∠DAE=60度，B点A点E点在同一直线上

    ∴ ∠CAD=60度

    又由（1）可知    △BAD全等于△CAE

    ∴∠ABD=∠ACE

    在△ABM和△ACN中

    ∠ABD=∠ACE，∠BAC=∠CAD=60度，BM=CN

    ∴△ABM全等于△ACN

    ∴AM=AN

    又∵∠CAD=60度

    ∴△AMN是等边三角形

    ∴∠AMN=60度

    ∵∠AMN=∠BAC=60度

    ∴MN // BE

（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形。∴BA=CA     DA=AE   所以∠BAC=60°  ∠DAE=60°  又∵平角定义

∴∠CAD=60°  ∠BAD=∠CAE  所以△BAD全等于△CAE  ∴BD=CE

（2）∵△BAD全等于△CAE  ∴BA=CA  ∠ABD=∠ACE  又∵∠BAC=∠CAN=60°

所以△BAM全等于△CAN  ∴BM=CN

（3）∵BD=CE  BM=CN ∴  BD-BM=CE-CN  MD=NE  又∵∠MAD=∠NAE  DA=EA 

所以△DMA全等于△ENA    ∴MA=NA  所以∠AMN=∠ANM  所以  △AMN是等边三角形

所以∠AMN=∠BAM=60°  所以MN // BE

证明：(1)由题易知：AB=AC AD=AE

  ∵ ∠BAC=∠DAE 

  ∴∠BAD=∠CAE  

 ∴ △BAD≌△CAE

 ∴BD=CE

(2)由（1）可得∠ABD=∠ACE  

又 ∵∠MAB=∠NAC   BA=CA

 ∴ △MBA≌△NCA

 ∴BM=CN

(3)由（2）知：AM=AN

又∵∠CAD=180°-∠BAC-∠DAE=60°

∴ ∠NMA=∠CAB=60°

∴MN // BE

不难吧？

1）证明△BAD≌△CAE   (SAS） 两个正三角形 好证得吧？ BD=CE就出来啦

2）由1）中的全等可以得到∠BDA=∠CEB  因为A B E三点共线 所以∠CAD=∠DAE=60°   AE=AD  前面的两个角相等 可以得到△MAD≌△ANE (ASA)  然后就是MD=NE  因为CE=BD  所以同减去相等的一段 剩下来的当然也相等 所以 BM=CN  

3）前面2）中得到的△BAD≌△CAE   (SAS）有用  可以得到AM=AN  ∠MAN=60°  So.. △AMN是正三角 所以∠AMN=∠BAM  所以MN∥BE

OK 完成  全部手工  满意给分 谢谢诶