如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE;
(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.
如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
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解决时间 2021-03-05 09:38
- 提问者网友:辞取
- 2021-03-04 12:53
最佳答案
- 五星知识达人网友:玩家
- 2021-03-04 13:36
(1)证明:取CE的中点G,连FG、BG.
∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF=
1
2DE.
∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
∴AB∥DE,∴GF∥AB.
又AB=
1
2DE,∴GF=AB.
∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.
∵AF?平面BCE,BG?平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)证明:∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.
∵BG?平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE.
(3)在平面CDE内,过F作FH⊥CE于H,连BH.
∵平面BCE⊥平面CDE,∴FH⊥平面BCE.
∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角.
设AD=DE=2AB=2a,则FH=CFsin45°=
2
2a,BF=
AB2+AF2=
a2+(
3a)2=2a,
Rt△FHB中,sin∠FBH=
FH
BF=
2
4.
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为
2
4.
试题解析:
(1)取CE的中点G,由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形,得到AF∥BG,从而证明AF∥平面BCE.
(2)通过证明AF⊥CD,DE⊥AF,从而证明AF⊥平面CDE,再利用BG∥AF证明BG⊥平面CDE,进而证明平面BCE⊥平面CDE.
(3)在平面CDE内,过F作FH⊥CE于H,由平面BCE⊥平面CDE,得 FH⊥平面BCE,故∠FBH为BF和平面BCE所成的角,解Rt△FHB求出∠FBH的正弦值.
名师点评:
本题考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题考查证明线面平行的方法,2个平面垂直的方法,求直线与平面成的角的方法,属于中档题.
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