四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ） A．150种 B．14
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解决时间 2021-02-19 06:48
- 提问者网友：聂風
- 2021-02-18 11:54
四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ） A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
最佳答案
- 五星知识达人网友：持酒劝斜阳
- 2021-02-18 12:29
从10个点中任取4个点有C 10 4 种取法，
其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C 6 4 种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，
∴不同的取法共有C 10 4 -4C 6 4 -6-3=141种．
故选D．
其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C 6 4 种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，
∴不同的取法共有C 10 4 -4C 6 4 -6-3=141种．
故选D．
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