已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程

已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程．

（1）设圆心坐标为（x，y），B点为切点时，B在x轴上，所以a=0．则B（4，0），所以AB的中点坐标为（2，
1
2 ），直线AB的斜率为
1-0
0-4 =-
1
4 ，则AB中垂线的斜率为4，所以AB中垂线的方程为y-
1
2 =4（x-2）与x=4联立解得x=4，y=
17
2 ，所以圆的方程为：（x-4） 2 + (y-
17
2 ) 2 = (
17
2 ) 2 ；

（2）当a=1时，AB与x轴平行，则AB的中垂线方程为x=2，设圆心坐标为（2，y），根据勾股定理得：y 2 =2 2 +（y-1） 2 ，解得y=
5
2 ，所以圆的方程为：（x-2） 2 + (y-
5
2 ) 2 = (
5
2 ) 2 ．
综上：当a=0时，相对应的圆的方程为：（x-4） 2 + (y-
17
2 ) 2 = (
17
2 ) 2 ；当a=1时，相对应的圆的方程为：（x-2） 2 + (y-
5
2 ) 2 = (
5
2 ) 2 ．

与x轴相切的圆,圆心的y坐标的绝对值为圆的半径。 所以,可设圆的方程为, (x - c)^2 (y - d)^2 = d^2, (x - c)^2 y^2 - 2dy = 0, 又,a(0,1)和b(4,a)在圆上, 所以, (0-c)^2 1 - 2d = 0, c^2 1 = 2d, d = (c^2 1)/2. ...(1) (4-c)^2 a^2 - 2da = 0, ...(2) 将(1)带入(2),有, (4-c)^2 a^2 - a(c^2 1) = 0, c^2 - 4c 4 a^2 - ac^2 - a = 0, (1-a)c^2 - 4c 4 a^2 - a = 0 ...(3) 因满足条件的圆只有一个,所以关于c的2次方程(3)应该有2个相同的根。 因此, (-4)^2 - 4(1-a)[4 a^2 - a] = 0, 4 - (1-a)[4 a^2 -a] = 0, 4 - [4 a^2 - a - 4a - a^3 a^2] = 0, a^3 - 2a^2 5a = 0, a[a^2 - 2a 5] = 0, a[(a-1)^2 4] = 0. 所以,a = 0, 这时,(3)式化为, (1-0)c^2 - 4c 4 0 - 0 = 0, c^2 - 4c 4 = 0, (c - 2)^2 = 0, c = 2. 再由(1)式, d = (2^2 1)/2 = 5/2. 因此, 圆的方程为, (x - 2)^2 (y - 5/2)^2 = (5/2)^2 = 9/4