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(1)如图1,△ABC和△ADE均为顶角为α的等腰三角形,连接BD、CE,BD与CE、AC分别交于点O、点P.通过观察或测量,猜想:①线段BD和CE的数量关系为___

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解决时间 2021-12-26 09:45
(1)如图1,△ABC和△ADE均为顶角为α的等腰三角形,连接BD、CE,BD与CE、AC分别交于点O、点P.通过观察或测量,猜想:
①线段BD和CE的数量关系为______.
②BD和CE之间的夹角∠BOC=______.
(2)现将图1中的△ADE绕着点A顺时针旋转一个角度,得到图2,BD的延长线与CE的延长线交于点O,与AC交于点P,问(1)中猜想的结论还成立吗?若成立,予以证明;若不成立,说明理由.
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解:(1)①相等;②α.
证明:∵△ABC和△ADE均为顶角为α的等腰三角形,
∴∠BAD=α+∠CAD,∠CAE=α+∠CAD,AB=AC,AD=AE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠OBC+∠ACB=∠ACE+∠OBC+∠ACB=∠OBC+∠OCB=180°-α,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=α;

(2)成立.
证明:∵△ABC和△ADE均为顶角为α的等腰三角形,
∴∠BAD=α-∠CAD,∠CAE=α-∠CAD,AB=AC,AD=AE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠OBC+∠ACB=∠ACE+∠OBC+∠ACB=∠OBC+∠OCB=180°-α,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=α.解析分析:(1)由△ABC和△ADE均为顶角为α的等腰三角形,易证得∠BAD=∠CAE,又由AB=AC,AD=AE,根据SAS即可证得△BAD≌△CAE,即可证得BD=CE,∠ABD=∠ACE,继而可证得∠BOC=α;
(2)方法同(1),首先利用SAS证得△BAD≌△CAE,由全等三角形的性质,即可证得结论正确.点评:此题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,以及旋转的性质.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
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