成都市 2015级 二次诊断性考试 数学 15题 求解析?

成都市 2015级 二次诊断性考试 数学 15题 求解析?

原题是:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,0),D(x1,0),其中x2>x1>0,且y1x1^2-x1+y1=0,y2x2^2-x2+y2=0.
若四边形ABCD是矩形,则此矩形绕x轴旋转一周得到的圆柱体体积的最大值为___.

解:由已知A、B在曲线yx^2-x+y=0上,即函数y=x/(x^2+1)的图象上.
y'=-(x-1)(x+1)/(x^2+1)^2
x∈(0,1)时,y'>0,函数在其上单增,
x∈(1,+∞)时,y'<0,函数在其上单减
x=1时,y'=0,在此处取最大值1/2。
x∈(0,+∞)时,函数y=x/(x^2+1)的值域是(0,1/2].
四边形ABCD是矩形时
设y1=y2=t,t∈(0,1/2)
圆柱体体积V=πt^2|x1-x2|
x1,x2是方程 t=x/(x^2+1)
即tx^2-x+t=0 (0<t<1/2)的两根
得|x1-x2|=(√(1-4t^2))/t

圆柱体体积V=πt^2|x1-x2|
=πt^2*((√(1-4t^2))/t)
=(π/2)√((1-4t^2)(4t^2))
≤(π/2)((1-4t^2)+(4t^2))/2
=π/4
当1-4t^2=4t^2即t=(√2)/4∈(0,1/2)时取“=”

所以圆柱体体积的最大值是π/4。

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