抛物线y^2=4x 的焦点是F，准线是 l ，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与l 相切的圆有多少个

抛物线y^2=4x 的焦点是F，准线是 l ，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与l 相切的圆有多少个

两个

详解如下：
抛物线y^2=4x的焦参数p=2，所以F(1,0),直线l:x=-1,即x+1=0，
设经过点M(4,4)、F(1,0),且与直线l相切的圆的圆心为Q(g,h),
则半径为Q到l的距离，即1+g，所以圆的方程为(x-g)^2+(y-h)^2=(1+g)^2，
将M、F的坐标代入,得(4-g)^2+(4-h)^2=(1+g)^2，(1-g)^2+(0-h)^2=(1+g)^2，
即h^2-8h+1=10g①,h^2=4g②，②代入①,得3h^2+16h-2=0，
解得h1=(√70-8)/3，h2=-(√70+8)/3，（经检验无增根）
代入②得g1=(67-8√70)/18，g2=(67+8√70)/18，
所以满足条件的圆有两个：
(x-(67-8√70)/18)^2+(y-(√70-8)/3)^2=((85-8√70)/18)^2，
(x-(67+8√70)/18)^2+(y+(√70+8)/3)^2=((85+8√70)/18)^2。

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因为点m（4，m）在抛物线y2=4x上， 所以可求得m=±4． 由于圆经过焦点f且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上． 又因为圆经过抛物线上的点m，所以圆心在线段fm的垂直平分线上， 即圆心是线段fm的垂直平分线与抛物线的交点， 结合图形易知对于点m（4，4）和（4，-4），都各有两个交点． 因此一共有4个满足条件的圆． 故选d．