an=2^n,bn=2n-1,数列an·bn的前n项和为Tn,求满足Tn＜167的最大整数n
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解决时间 2021-02-20 22:35
- 提问者网友：我是女神我骄傲
- 2021-02-20 00:41
an=2^n,bn=2n-1,数列an·bn的前n项和为Tn,求满足Tn＜167的最大整数n
最佳答案
- 五星知识达人网友：鸽屿
- 2021-02-20 00:57
设Sn=an乘bn
S(n)=2^n*(2n-1)=2^n*2n-2^n
所以T(n)=2^1*2*1+2^2*2*2+2^3*2*3+2^4*2*4+……+2^n*2*n-2*(1-2^n)/(1-2)
=2^1*2*1+2^2*2*2+2^3*2*3+2^4*2*4+……+2^n*2*n-2*(2^n-1) ①
2T(n)= 2^2*2*1+2^3*2*2+2^4*2*3+……+2^n*2*(n-1)+2^(n+1)*2*n-4*(2^n-1) ②
②-①，得
T(n)=2^(n+1)*2*n-2*(2^n-1)-[2^1*2*1+2^2*2*1+2^3*2*1+2^4*2*1+……+2^n*2*1]
=n*2^(n+2)-2^(n+1)+2-2^(n+2)+4
=(n-1)*2^(n+2)-2^(n+1)+6
=(2n-3)*2^(n+1)+6
又T(n)=(2n-3)*2^(n+1)+6<167，当n≥2时，T(n)单调递增，且T(4)=160<167，T(5)=454>167，所以满足T(n)<167的最大正整数解为n=4。
S(n)=2^n*(2n-1)=2^n*2n-2^n
所以T(n)=2^1*2*1+2^2*2*2+2^3*2*3+2^4*2*4+……+2^n*2*n-2*(1-2^n)/(1-2)
=2^1*2*1+2^2*2*2+2^3*2*3+2^4*2*4+……+2^n*2*n-2*(2^n-1) ①
2T(n)= 2^2*2*1+2^3*2*2+2^4*2*3+……+2^n*2*(n-1)+2^(n+1)*2*n-4*(2^n-1) ②
②-①，得
T(n)=2^(n+1)*2*n-2*(2^n-1)-[2^1*2*1+2^2*2*1+2^3*2*1+2^4*2*1+……+2^n*2*1]
=n*2^(n+2)-2^(n+1)+2-2^(n+2)+4
=(n-1)*2^(n+2)-2^(n+1)+6
=(2n-3)*2^(n+1)+6
又T(n)=(2n-3)*2^(n+1)+6<167，当n≥2时，T(n)单调递增，且T(4)=160<167，T(5)=454>167，所以满足T(n)<167的最大正整数解为n=4。
全部回答
- 1楼网友：醉吻情书
- 2021-02-20 02:25
tn=-1+3-5+7+……+(-1)^n×(2n-1)
n为偶数时
b1+b2=-1+3=2
b3+b4=-5+7=2
……
b(n-1)+bn=-(2(n-1)-1)+(2n-1)=2
tn=2×(n/2)=n
n为奇数时
b1+b2=2
b3+b4=2
……
b(n-2)+b(n-1)=-(2(n-2)-1)+(2(n-1)-1)=2
bn=-(2n-1)
tn=2×(n-1)/2-(2n-1)=-n
综上所述
tn=(-1)^n×n
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