数学题目会的来！

球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。

根据条件，可知，P A B C 是一个圆内正方体，

所以圆的直径是这个正方体的对角线＝a＊根号3

R＝a＊根号3/2
再根据球的表面积S=4πR^2
即可得面积为3πa^2

PA^2+PB^2+PC^2=D^2=3a^2 即得球表面积S=4派R^2=派D^2＝3派a^2.

我用传统一点的方法，虽然烦了点，但可以用来解决一般类似问题，本题是比较特殊的。

就是假设我没看出PABC可以补成一个正方体，恰好是球的内接正方体。

PA=PB=PC=a,可知，过P作ABC平面的射影，交点为Q。

则Q为△ABC的外心（应该是课本定理，我可以补证），而球心O，过O作ABC平面的射影，交点为Q'（Q'也为△ABC的外心，用刚刚同样的定理），则Q'=Q。

OQP是在同一直线上，且垂直于ABC平面

则AB=BC=AC=a√2。

因为△ABC是正三角形，连接AQ,BQ,CQ，正三角形的外接圆半径很好求吧，

这里求一下。因为∠QAB=30°,在平面ABC上过Q作QF⊥AB,AF=a√2/2

AQ应该很好求的（30°，60°，90°的直角三角形）

△ABC的外接圆半径AQ=a√6/3

故PQ=a√3/3（在直角三角形PAQ中求）

好了，设球的半径为R

看直角三角形OQA，有OA²=AQ²+QO²

即

R²=(a√6/3)²+(R-a√3/3)²

R=1/2*a√3

半径为1/2*a√3

直径为d=a√3

球的表面积S=4πR²=πd²=3πa²

因为4个点组成的是各边都相等的菱形，球的半径为1/2a ，表面积公式为4πr^2，所以 值 为 a^2 * 3.14