请讲解一下函数中的柯西法

请讲解一下函数中的柯西法

在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解
例1 设f(x)连续且恒不为0，求函数方程f(x＋y)=f(x)f(y)的解
解：∵f(x)=f( x1＋x2 )=f(x1 )f(x2 )≥0
若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有 f(x)=f(x－x0＋x0)=f(x－x0)f(x0)=0 这与f(x)不恒为0矛盾，
故f(x)＞0 对题设f(x＋y)=f(x)f(y)两边取自然对数，
得 ㏑f(x＋y)=㏑f(x)f(y) ∴㏑f(x＋y)=㏑f(x)＋㏑f(y) 令g(x)=㏑f(x) ∵f(x)＞0且连续 ∴g(x)连续且满足g(x＋y)=g(x)＋g(y).由定理知： g(x)=g(1)x 故 ㏑f(x)=x㏑f(1) ∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)x 令f(1)=a，则f(x)=ax (a＞0) 类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得： （1） 若f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax （2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x^u(u由初值给出) （3） 若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax2＋bx （4） 若f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax＋b

柯西法
柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解
例.求满足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的函数f(x),其中f(0)=a与f(π/2)=b为已知常数 .
解. 以(x, y)=(0,u),(u+π/2,π/2),(π/2, u+π/2)代入原方程,可得含f(u)、f(-u)、f(u+π)的方程组
,然后解出f(u)=acosu +bsinu,即有f(x)=acos x+bsin x .