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解答题已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和

答案:2  悬赏:50  手机版
解决时间 2021-01-24 09:15
解答题 已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0.
(1)求a的值;
(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
最佳答案
解:(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0,
即3a-6-6a=0,∴a=-2.
(2)∵直线m恒过定点(0,9),先求直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3x02+6x0+12),
∵g′(x0)=6x0+6,
∴切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得x0=±1,
当x0=-1时,切线方程为y=9;
当x0=1时,切线方程为y=12x+9.
由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,
当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;
当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.
∴公切线是y=9.
又有f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.
当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;
当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,
∴公切线不是y=12x+9.
综上所述公切线是y=9,此时存在,k=0.解析分析:(1)由题中条件:“f′(-1)=0”,先求出函数的导数,再代入计算f′(-1)的值,即可求得a的值;(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线,再利用导数的几何意义,求出曲线y=g(x)的切线和曲线y=f(x)的切线,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
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