证明求助

证明求助

只需要找两条路径，使得极限沿着两个路径的值不一样即可
lim(y=x) (1+xy)^[1/(x+y)]
=lim (1+x^2)^[1/(2x)]
=lim (1+x^2)^[x/(2x^2)]
=lim {(1+x^2)^[1/(x^2)]}^(x/2)
=e^0
=1

lim(y=x^2) (1+xy)^[1/(x+y)]
=lim (1+x^3)^[1/(x+x^3)]
=lim [(1+x^3)^(1/x^3)]^[x^2/(1+x^2)]
=lim e^[x^2/(1+x^2)]
=e

两极限值不相等，因此原极限不存在
有不懂欢迎追问

只有当(x,y)沿任意方向趋近于(x0,y0)的极限都相等时才存在，取两个不同的y(x)或x(y)函数，代入求得极限值不同即证明追答至于两条线，自己凑吧

若(x，y)趋于（0，0）则（x+y)趋于0，XY趋于0，则1/（X+Y）趋于无穷大，（1+XY）趋于1,故极限不存在。