以知mx’’=GMm/x^2,x上下限分别为R+H,R.求时间t(x)=?

以知mx''=GMm/x^2,x上下限分别为R+H,R.求时间t(x)=?
二楼，dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt
这步积分可否在具体点？

首先求出x=R时的速度v',变换微分方程为x''=GM/x^2,进而左侧用dv替换,变成vdv=GM/x^2*dx积分v:0->v',x:R+H->R得v'=根号下2GM(1/R-1/(R+H))类似的,x=R+r,0<r<H时,速度v(r)为根号下2GM(1/R-1/(R+r))解出x=R+r时速度v(r)与x的关系为x=GM/(GM/R-1/2*v(r)^2)再利用dv=adt,即dv=GM/x^2*dt,将x用含有v(r)的式子代换,得到dv=(GM/R-1/2*v^2)^2/(GM)*dt查积分表,可解该微分方程:t=vR/2/(GM/R-1/2*v^2)+R/(2根号2)*根号(R/G/M)*ln绝对值((v/根号2+根号(GM/R)/v/根号2-根号(GM/R)))将x=R处速度v'=根号下2GM(1/R-1/(R+H))代入,得到时间T=(根号下2GM(1/R-1/(R+H)))R/2/(GM/R-1/2*(根号下2GM(1/R-1/(R+H)))^2)+R/(2根号2)*根号(R/G/M)*ln绝对值(((根号下2GM(1/R-1/(R+H)))根号2+根号(GM/R)/(根号下2GM(1/R-1/(R+H)))/根号2-根号(GM/R)))结果很复杂. 帮你化简了一下,见附图 ————————补充,图中附上积分公式了,你可以套公式积分.

名师点评：

恐惧骑士051054