过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1,0)作弦,求诸弦中点的轨迹方程
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解决时间 2021-12-20 01:10
- 提问者网友：半生酒醒
- 2021-12-19 06:24
过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1,0)作弦,求诸弦中点的轨迹方程
最佳答案
- 五星知识达人网友：思契十里
- 2021-12-19 07:42
设弦两端点坐标为(x1,y1),(x2.y2),诸弦中点坐标为(x,y).弦所在直线斜率为k
x1^2/9+y1^2/4=1
x2^2/9+y2^2/4=1
两式相减得；（x1+x2)(x1-x2)/9+(y1+y2)(y1-y2)/4=0
2x/9+2y*k/4=0
又k=(y-0)/(x-1)
∴消k:2x/9+2y^2/4(x-1)=0
整理得诸弦中点的轨迹方程：4x^2+9y^2-4x=0
x1^2/9+y1^2/4=1
x2^2/9+y2^2/4=1
两式相减得；（x1+x2)(x1-x2)/9+(y1+y2)(y1-y2)/4=0
2x/9+2y*k/4=0
又k=(y-0)/(x-1)
∴消k:2x/9+2y^2/4(x-1)=0
整理得诸弦中点的轨迹方程：4x^2+9y^2-4x=0
全部回答
- 1楼网友：躲不过心动
- 2021-12-19 07:48
设过m点的直线方程为y=k(x-1),与x^2/4+y^2=1联立得
(4k^2+1)x^2-8k^2x+4k^2-4=0
x=(x1+x2)/2=4k^2/(4k^2+1)
y=(y1+y2)/2=[k(x1-1)+k(x1-1)]/2=-k/(4k^2+1)
所以x=-4ky，即k=-x/4y
代入x=4k^2/(4k^2+1)整理得
x^2+4y^2-x=0
(x-0.5)^2+4y^2=1/4
是个椭圆，标准形式为(x-0.5)^2/(1/4)+y^2/(1/16)=1
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