a1 b1 a2 b2均为实数。求证|根号(a1^2+a2^2)-根号(b1^2+b2^2)|≤|a1-b1|+|a2-b2|

a1 b1 a2 b2均为实数。求证|根号(a1^2+a2^2)-根号(b1^2+b2^2)|≤|a1-b1|+|a2-b2|

有追加 、！

用几何意义会简单一点，不需要复杂的运算。
记点A的坐标为A(a1,a2),点B的坐标为B(b1,b2), 那么 根号(a1^2+a2^2)就是A与原点O的距离；同理 根号(b1^2+b2^2) 就是B与原点O的距离。因此
|根号(a1^2+a2^2)-根号(b1^2+b2^2)|
=|OA-OB| (根据三角形两边之和大于第三边,这里直接用OA表示线段OA的长度)
<=AB
另一方面，|a1-b1|是A,B两点横坐标之差的绝对值，|a2-b2|是A,B两点纵坐标之差的绝对值，从而必有 |a1-b1|+|a2-b2|>=AB. (可以设想一个点C的坐标为C(a1,b2),那么|a1-b1|就是BC的长度，|a2-b2|就是AC的长度，由AC+BC>=AB即知上述不等式成立)
这样，不等号左边<=AB<=不等号右边，从而所证不等式成立。

设平面上a(a1,a2)，b(b1,b2)，过a作x轴垂线，过b作y轴垂线，两线较于c，那么根号(a1^2+a2^2)=ao，根号(b1^2+b2^2)=bo，|a1-b1|=bc，|a2-b2|=ac，由三角形的性质知ac+bc≥ab≥|ao-bo|~得证~