阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆怎么证明？它有什么性质？

性质:AB为直径的圆与阿波罗尼斯（Apollonius）圆 正交
反演点内分与外分反演圆直径

证明:用余弦定理和勾股定理证明

阿波罗尼斯（apollonius）圆，简称阿氏圆。 [编辑本段]定义 　　在平面上给定相异两点a、b，设p点在同一平面上且满足pa/pb= λ， 当λ>0且λ≠1时，p点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设m、n分别为线段ab按定比λ分割的内分点和外分点，则mn为阿波罗尼斯圆的直径，且mn=［２λ／（λ^2-1）］ab。 [编辑本段]证明 　　我们可以通过公式推导出an的长度：an:bn＝ap:bp ，其中bn=an+ab，所以an:(an+ab)＝ap:bp=>an=ap×ab÷(bp-ap)，以np为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。 [编辑本段]性质 　　由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即： 　　设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系： 　　b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； 　　c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； 　　a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。 　　（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。