设x>0,y>0且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值

设x>0,y>0且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值

1/x+1/y
=(1/x+1/y)(x+2y) 因为x+2y=1
=1+2y/x+x/y+2

x>0,y>0,所以2y/x+x/y>=2√(2y/x*x/y)=2√2
当2y/x=x/y时取等号
x^2=2y^2
x=√2y
√2y+2y=1,有正数解
所以等号能取到
所以1/x+1/y=1+2y/x+x/y+2>=3+2√2
所以最小值=3+2√2

1/x+1/y =1*(1/x+1/y) =(x+2y)(1/x+1/y) =1+2+2y/x+x/y =3+2y/x+x/y [平均值不等式] >=3+2√(2y/x*x/y) =3+2√2 取等号时2y/x=x/y  x=√2y 代入x+2y=1解得x=√2-1 y=(2-√2)/2 

1/x+1/y =(x+2y)/x+(x+2y)/y =1+2y/x+x/y+2 =3+2y/x+x/y ≥3+2√(2y/x*x/y) =3+2√2 1/x+1/y的最小值=3+2√2