已知数列{An}中,A1=1,nA[n+1]=(n+2)A[n]+n,求An通项公式

已知数列{An}中,A1=1,nA[n+1]=(n+2)A[n]+n,求An通项公式

这道题用数学归纳法确实比正面证明要简单些,但不等于正面证明就是无路可走的.由原递推式递推下一项,就有(n-1)A[n]=(n+1)A[n-1]+(n-1),然后与原递推式联立,两式相减,化简一下,就得nA[n+1]=(2n+1)A[n]-(n+1)A[n-1]+1,然后整理一下,就有n(A[n+1]-A[n])=(n+1)(A[n]-A[n-1])+1,令B[n]=A[n+1]-A[n],则 nB[n]=(n+1)B[n-1]+1,所以B[n]+1=[(n+1)B[n-1]+1+n]/n=[(n+1)(B[n-1]+1)]/n,所以(B[n]+1)/(n+1)=(B[n-1]+1)/n=(B[1]+1)/2,因为已知A[1]=1,A[2]=4,所以B[1]=3,所以B[n]=2n+1,即A[n+1]-A[n]=2n+1 利用叠加法就得A[n+1]-A[1]=n(n+2),所以A[n]=(n-1)(n+1)+A[1]=n^2-1+1=n^2.正面证明的过程就是这样.本人喜好先考虑正面走,实在行不通才考虑数学归纳法,因为正面证明往往可以看出一个人的思维水平,但如果考试的时候遇上了,建议假如3分钟正面走不通,就赶紧向数学归纳法求助了,这样比较省时.这就要看你自己的水平和决策能力了.（PS：如果我的回答被您采纳,麻烦记得追加至少10分哦,======以下答案可供参考======供参考答案1:两边同除n(n 1)(n 2)，变为数列An 1/(n 1)(n 2)=An/n(n 1) 1/(n 1)(n 2)再叠加法供参考答案2:当n=1时，A[1]=1 n=2 , A[2]=4 n=3 , A[3]=9 猜想A[n]=n^2 用数学归纳法即可

就是这个解释