已知函数f(x)＝x2+x+4x(x＞0)?x2?x+4x(x＜0)，（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；（Ⅱ）判断函数f（x）分

已知函数f(x)＝x2+x+4x(x＞0)?x2?x+4x(x＜0)，（Ⅰ）求证：函数f（x）是偶函数；（Ⅱ）判断函数f（x）分别在区间（0，2]，[2，+∞）上的单调性，并加以证明．

（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称．
当x＞0时，-x＜0，
则f(x)＝
x2+x+4
x ，f(?x)＝
(?x2)?(?x)+4
(?x) ＝
x2+x+4
x ，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，
则f(x)＝?
x2?x+4
x ，f(?x)＝
(?x2)+(?x)+4
(?x) ＝?
x2?x+4
x ，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)＝
x2+x+4
x ＝x+
4
x +1，
设x2＞x1＞0，则f(x2)?f(x1)＝
x2?x1
x1?x2 (x1?x2?4)
当x2＞x1≥2时，f（x2）-f（x1）＞0；当2≥x2＞x1＞0时，f（x2）-f（x1）＜0，
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数．
（另证：当x＞0，f(x)＝
x2+x+4
x ＝x+
4
x +1，f′(x)＝1?
4
x2 ；
∵0＜x≤2?0＜x2≤4?
4
x2 ≥1?1?
4
x2 ≤0
x≥2?x2≥4?0＜
4
x2 ≤1?1?
4
x2 ≥0
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．

解：（i）∵函数f(x)=(x+1)(x+a)x2为偶函数． ∴f（-x）=f（x） 即(x+1)(x+a)x2=(-x+1)(-x+a)x2 ∴2（a+1）x=0， ∵x为非零实数， ∴a+1=0，即a=-1