一阶线性微分方程y´+xsin2y=x【e^(-x^2)】【cos^2y】 y(0)=1

一阶线性微分方程y´+xsin2y=x【e^(-x^2)】【cos^2y】 y(0)=1

y'+x(siny)^2=xe^(-x^2)*(cosy)^2y'/(siny^2)+x=xe^(-x^2)*(coty)^2-(coty)'+x=xe^(-x^2)*(coty)^2(1/coty)'+x/coty=xe^(-x^2)(tany)'+xtany=xe^(-x^2)z=tanyz'+xz=xe^(-x^2)dz/dx+xz=xe^(-x^2)-dz/d(-x^2)+z/2=e^(-x^2) /2(-x^2)=u-dz/du+z/2=e^u/2-dz/du+z/2=0dz/du=z/2dz/z=du/2lnz=u/2+C0z=C1e^(u/2)设z=C(u)e^(u/2)dz/du=C'(u)e^(u/2)+C(u)e^(u/2)/2C'(u)e^(u/2)=e^u/2dC(u)=(e^(u/2))du/2C(u)=e^(u/2)+Cz=(e^u+Ce^(u/2)tany=e^(-x^2) +Ce^(-x^2/2)x=0 y=1 1+C=tan1C=(tan1-1)tany=e^(-x^2)+(tan1-1)*e^(-x^2/2)======以下答案可供参考======供参考答案1:看不懂供参考答案2:y´ + x sin2y = x【e^(-x^2)】【cos^2y】=> sec²y * y' + x * 2tany = x * e^(-x²)=> u = tany , 原方程化为： u‘ + 2x * u = x * e^(-x²)一阶线性方程，有公式：通解 u = e^(-x²) [ ∫ x * e^(-x²) * e^(x²) dx + C]即 u = e^(-x²) * [ x²/2 + C] 原方程通解: tany = e^(-x²) * [ x²/2 + C] y(0) = 1 => C = tan1所求为 tany = e^(-x²) * ( x²/2 + tan1)

谢谢了