直线l：y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点，（1）求a的取值范围；（2）设交点为A，B，是否存在直线

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解决时间 2021-03-08 05:11

提问者网友：像風在裏
2021-03-07 13:36

直线l：y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点，
（1）求a的取值范围；
（2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由．

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五星知识达人网友：北方的南先生
2021-03-07 14:54

（1）联立方程组

3x2?y2＝1
y＝ax+1 ，消去y，得：
（3-a）2x2-2ax-2=0，…（2分）
由题意方程有两个实数根，
则

3?a2≠0
△＝(?2a)2?4(3?a2)×(?2)＞0 ，…（3分）
解得-

6 ＜a＜

6 ，且a≠±

3 ，
∴a的取值范围是（-

6 ，-

3 ）∪（-

3 ，

3 ）∪（

3 ，

6 ）．…（5分）
（2）设交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，x1+x2＝
2a
3?a2 ，x1x2＝
?2
3?a2 ，…（6分）
由题意可得，OA⊥OB（O是坐标原点），
则有x1x2+y1y2=0，…（7分）
而y1y2＝(ax1+1)(ax2+1)＝a2x1x2+a(x1+x2)+1…（8分）
∴（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0
于是得(a2+1)
?2
3?a2 +a?
2a
3?a2 +1＝0
解得a=±1，且满足（1）的条件，…（10分）
所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，
直线l的方程为y=x+1或y=-x+1．…（12分）

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1楼网友：神也偏爱
2021-03-07 15:21

x²-y²=1......(1) y=ax+1......(2) 将（2）代入（1），得 (1-a²)x²-2ax-2=0 δ=4a²+8(1-a²)>0 8-4a²>0 得 -√2

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