n阶方阵可对角化的充要条件怎么理解

n阶方阵可对角化的充要条件怎么理解

不详

[证明] 充分性：已知a具有n个线性无关的特征向量x1，x2，……，则axi=入ixi i=1,2,……,n a[x1 x2 ……xn]=[入1x1 入2x2 ……入nxn] =[x1 x2 ……xn]* x1，x2，xn线性无关，故p=[x1 x2 xn]为满秩矩阵，令v=*，则有ap=pv v=ap/p 必要性：已知存在可逆方阵p，使 ap/p=v=* 将p写成列向量p=[p1 p2 pn] pn为n维列向量 [ap1 ap2……apn]=[入1p1 入2p2……入npn] 可见，入i为a的特征值，pi为a的特征向量， 所以，a具有n个线性无关的特征向量。 注：因为上面的过程是我自己手工打上去的，好多符号百度都打不出来，将就能看懂就好，其中*表示的是一个n阶对角矩阵，对角线上的矢量分别为入1，入2……入n n阶矩阵在复数范围内，一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数），从这个意义上说，矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的。n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了。 但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）。